Perkembangan sains dan teknologi searah dengan meningkatnya pola hidup manusia, yang diiringi dengan munculnya banyak masalah baru yang membutuhkan penyelesaian terbaik. Berkaitan dengan hal ini, matematika mempunyai peran yang sangat tinggi, salah satunya adalah teori graf sebagai bagian dari matematika.
Permasalahan yang dapat diselesaikan dengan graf adalah permasalahan yang dapat disajikan dalam bentuk titik dan garis, dimana titik menyatakan obyek yang diamati dan garis menyatakan hubungan antar dua titik. Secara formal, suatu graf G didefinisikan sebagai himpunan berhingga tak kosong V(G) yang anggotanya disebut titik, beserta himpunan E(G) yang anggotanya merupakan pasangan tak terurut dua titik yang berbeda dari V(G) yang disebut garis. Karena struktur graf terdiri atas titik dan garis, sebagaimana pada Ruang Euclide, maka memungkinkan dibangun definisi basis dan dimensi. Basis dalam graf menyatakan suatu himpunan dengan kardinlaitas minimal yang menyebabkan representasi setiap titik terhadap himpunan tersebut adalah berbeda. Dilihat dari definisi representasi setiap titik, konsep basis berkembang menjadi basis multiset. Jika konsep representasi pada basis merupakan pasangan terurut, maka konsep representasi dalam basis multiset merupakan himpunan, yang disebut sebagai representasi multiset. Dari basis multiset, dikembangkan lebih lanjut dalam basis multiset lokal. Basis multiset adalah himpunan dengan kardinalitas minimal sehingga setiap titik mempunyai representasi multiset yang berbeda terhadap himpunan tersebut, sedangkan basis multiset lokal merupakan himpunan dengan kardinalitas minimal yang menyebabkan setiap dua titik yang membentuk garis, mempunyai representasi multiset yang berbeda terhadap himpunan tersebut. Kardinalitas dari basis multiset lokal disebut dengan dimensi multiset lokal. Jika pada suatu graf tidak ditemukan himpunan basis multiset lokal, maka dikatakan graf tersebut mempunyai dimensi multiset lokal tak hingga.
Beberapa sifat dimensi multiset lokal yang sudah ditemukan dalam penelitian sebelumnya yang digunakan dalam penelitian ini adalah sifat graf bipartit, dimensi multiset lokal graf lengkap, serta karakterisasi graf yang mempunyai dimensi multiset lokal satu. Sifat graf bipartit dimanfaatkan dengan terlebih dulu membangun lema tentang syarat graf sehingga hasil operasi combnya merupakan graf bipartit. Hasil utama yang diperoleh dalam penelitian ini adalah dimensi multiset lokal untuk graf hasil operasi comb antara graf pohon dengan graf siklus dan graf pohon. Karena operasi comb tidak bersifat komutatif, maka dimensi multiset lokal graf hasil operasi comb yang ditemukan adalah untuk kasus graf pohonnya sebagai graf pertama ataupun sebagai graf kedua. Untuk graf pohon sebagai graf pertama, diperoleh batas bawah nilai dimensi multiset lokal graf pohon dengan graf siklus, sedangkan untuk graf lintasan yang merupakan bentuk khusus dari graf pohon, diperoleh nilai eksaknya. Pada akhir artikel disajikan pula beberapa peluang untuk penelitian lebih lanjut, yang salah satunya menentukan batas bawah dimensi multiset lokal graf hasil operasi comb secara umum, yang disajikan dalam open problem.
Definisi graf operasi kali comb serta hasil utama sec ara terperinci, dapat dilihat secara lengkap pada artikel, dengan judul : 淟ocal multiset dimension of comb product of tree graphs yang dipublikasikan dalam Jurnal AIMS Mathematics, Volume 8, Issue 4, Tahun 2023 yang dapat diakses pada laman yang tertera di bagian bawah ini.
Penulis: Dr. Liliek Susilowati, S.Si., M.Si.
Fakultas Sains dan Teknologi, 51动漫
Artikel lengkap dengan judul: 淟ocal multiset dimension of comb product of tree graphs
Dapat diakses melalui laman:
