Matematika tidak hanya berbicara tentang angka, tetapi juga tentang struktur dan relasi. Struktur aljabar merupakan bagian dari matematika yang mempelajari struktur suatu himpunan tak kosong yang dilengkapi dengan operasi biner. Salah satu cara untuk memahami struktur aljabar, seperti suatu grup adalah dengan merepresentasikannya sebagai graf. Teori graf merupakan kajian dalam bidang matematika yang merepresentasikan suatu objek sebagai titik dan keterkaitan dua objek sebagai sisi. Lebih jauh, sebuah graf dapat direpresentasikan ke dalam matriks sehingga dapat dikaji lebih lanjut terkait sifat-sifat grup melalui karakteristik matriks representasinya.
Artikel ini menyajikan bentuk matriks representasi graf koprima dari perumuman grup quaternion. Perumuman grup quaternion merupakan grup berhingga tidak komutatif yang dibangun oleh dua elemen dengan sifat khusus. Sedangkan graf koprima dari perumuman grup quaternion adalah graf dengan titik-titiknya merupakan anggota dari perumuman grup quaternion dan sisinya dibentuk dari dua anggota grup yang ordernya saling prima. Pengamatan yang dilakukan berfokus pada empat macam matriks representasi, yaitu matriks ketetanggaan, anti ketetanggaan, Laplacian, dan signless Laplacian.
Tinjuan awal dalam penelitian ini adalah menentukan bentuk matriks representasi kemudian mempelajari sifat-sifat graf lebih lanjut, terutama nilai karakteristik, yang berhubungan dengan stabilitas, dan energi graf. Penentuan bentuk matriks dan nilai karakteristiknya menggunakan bantuan perangkat lunak MATLAB yang kemudian hasil tersebut dituliskan buktinya secara matematis.
Hasil dari penelitian ini diperoleh bentuk dari keempat matriks representasi graf koprima dari perumuman grup quaternion serta nilai eigennya. Berdasarkan bentuk matriks yang diperoleh, didapatkan determinan matriksnya nol sehingga matriks representasinya mempunyai nilai eigen nol, kecuali matriks signless Laplacian. Sedangkan untuk nilai eigen tak nolnya didapatkan nilai yang beragam dengan multiplisitas aljabar juga berbeda-beda bergantung pada jenis matriks representasi serta order dari grafnya.
Penelitian ini memperkaya pemahaman tentang hubungan antara teori grup dengan teori graf dan matriks. Dengan mengetahui pola nilai eigen dari matriks representasi, kita bisa memahami lebih dalam struktur internal graf, yang potensial diaplikasikan pada bidang lain seperti ilmu komputer, teori jaringan, bahkan kriptografi.
Penulis: Siti Zahidah, M.Si.
Fakultas Sains dan Teknologi, 51动漫
Artikel lengkap dengan judul:
淩epresentation Matrices of Coprime Graph of Generalized Quaternion Group
Dapat diakses melalui laman:
