Dalam analisis statistik, terutama yang menggunakan pendekatan model regresi multirespon, model matematika yang menggambarkan hubungan fungsional antara lebih dari satu variabel respons dan satu atau lebih variabel prediktor sering terlibat. Hubungan antara variabel-variabel ini dinyatakan dengan fungsi regresi. Dalam model regresi nonparametrik multirespon atau model Multiresponse Nonparametric Regression (MNR), yang merupakan bagian dari model regresi multirespon, pengestimasian fungsi regresi adalah masalah utama, karena ada korelasi antar respon sehingga perlu untuk memasukkan suatu matriks bobot simetris ke dalam optimasi Penalized Weighted Least Square (PWLS) selama proses estimasi. Ini, tentu saja, sangat rumit secara matematis. Hal ini yang membedakan antara metode yang dibahas dalam penelitian ini dan metode pada model regresi nonparametrik satu respon maupun pada model regresi semiparametrik satu respon.
Dalam penelitian ini, untuk mengestimasi fungsi regresi model MNR, dikembangkan metode optimasi PWLS untuk model MNR yang diusulkan oleh peneliti sebelumnya, dan menggunakan pendekatan Reproducing Kernel Hilbert Space (RKHS) berdasarkan estimator spline pemulusan (smoothing spline) untuk mendapatkan solusi optimasi PWLS yang dikembangkan tersebut. Selain itu, ditentukan matriks bobot simetris dan parameter pemulus optimal, serta diselidiki konsistensi estimator fungsi regresi. Diberikan pula ilustrasi pengaruh parameter pemulus untuk hasil estimasi menggunakan data simulasi. Kedepannya, teori yang dihasilkan dari penelitian ini dapat dikembangkan dalam lingkup statistika inferensi, terutama untuk tujuan pengujian hipotesis yang melibatkan model regresi nonparametrik multirespon dan model regresi semiparametrik multirespon, dan dapat digunakan untuk mengestimasi komponen nonparametrik dari model regresi semiparametrik multirespon yang digunakan untuk membuat model grafik standar pertumbuhan balita Indonesia.
Hasil yang didapatkan dari penelitian ini meliputi hasil estimasi spline pemulusan fungsi regresi dari model MNR, hasil estimasi matriks bobot, hasil estimasi parameter pemulus optimal, hasil simulasi yang menunjukkan pengaruh dari parameter-parameter pemulus, serta sifat-sifat asimtotik estimator fungsi regresi yakni konsisten dan kenormalan asimtotik yang dinyatakan dalam beberapa teorema dan dilengkapi dengan ilustrasinya menggunakan studi simulasi.
Akhirnya diperoleh kesimpulan bahwa estimator spline pemulusan dengan pendekatan RKHS memiliki kemampuan yang baik untuk mengestimasi model MNR yang merupakan model regresi nonparametric dengan responnya saling berkorelasi satu sama lain, sebab kecocokan pengepasan (goodness of fit) dan kemulusan (smoothness) kurva estimasi dikontrol oleh parameter pemulus, yang membuat estimator ini sangat cocok untuk tujuan prediksi. Oleh karena itu, pemilihan parameter pemulus tidak dapat diabaikan, dan krusial untuk mendapatkan pengepasan yang baik terhadap fungsi regresi dari model MNR berdasarkan estimator spline pemulusan dengan pendekatan RKHS. Estimator fungsi regresi spline pemulusan yang diperoleh adalah linier terhadap observasi dan konsisten berdasarkan kriteria Integrated Mean Square Error (IMSE).
Penulis: Dr. Nur Chamidah, S.Si., M.Si.
Informasi lengkap (detail) dari penelitian ini dapat dilihat pada tulisan kami di laman:
Budi Lestari, Nur Chamidah, Dursun Aydin, dan Ersin Yilmaz (2022). Reproducing Kernel Hilbert Space Approach to Multiresponse Smoothing Spline Regression Function. Symmetry 14(11), 2227, pp. 1“21. DOI: 10.3390/sym14112227.
