Efektifitas dan efisiensi merupakan perkara penting yang harus ditemukan agar bisa menekan biaya, waktu, dan tenaga, namun tetap memenuhi tujuan yang hendak dicapai. Efektifitas dan efisiensi merupakan salah satu keunggulan peran matematika dalam kehidupan. Salah satu cabang dari matematika yang mengkaji masalah ini adalah teori graf, dimana graf merupakan suatu himpunan tak kosong yang anggotanya disebut titik bersama dengan himpunan pasangan tak terurut dua titik yang berbeda yang disebut sisi. Banyaknya titik pada graf disebut dengan ordo graf, sedangkan banyak garis pada graf disebut dengan ukuran graf.
Dalam graf dikenal himpunan pembeda dan himpunan dominasi. Himpunan pembeda adalah himpunan bagian dari himpunan titik suatu graf yang dapat mendeteksi setiap titik pada graf secara berbeda. Himpunan pembeda mendeteksi setiap titik pada graf dengan menggunakan pasangan terurut yang berisikan jarak antar titik tersebut dengan titik-titik pada himpunan pembeda tersebut. Himpunan dominasi yang banyaknya titik minimal disebut basis graf. Sedangkan himpunan dominasi adalah himpunan bagian dari himpunan titik pada graf yang menyebabkan setiap titik pada graf yang berada di luar himpunan dominasi, membentuk garis minimal dengan satu titik pada himpunan dominasi tersebut. Himpunan dominasi yang banyaknya titik minimal disebut bilangan dominasi. Himpunan titik yang memenuhi himpunan pembeda dan himpunan dominasi disebut dengan himpunan pembeda dominasi. Himpunan pembeda dominasi yang mempunyai titik paling sedikit disebut basis dominasi graf, dan banyaknya titik pada basis dominasi disebut dimensi metrik dominasi.
Graf Petersen adalah graf berordo 10 dan mempunyai ukuran 15, dengan struktur hubungan antar titiknya telah ditentukan secara khusus. Graf Petersen dengan ordo 10 dan berukuran 15 ini dinotasikan dengan P(5,2). Dari definisi Graf Petersen ini, dapat ditentukan rumus umum struktur hubungan antar titik, yang disebut dengan Graf Petersen diperumum, yang banyak titiknya adalah 2n, dengan n adalah bilangan asli lebih dari 2, dan dinotasikan dengan P(n,k), dengan n, k adalah bilangan asli dan n > 2k. Artikel ini meneliti dimensi metrik dominasi dari Graf Petersen diperumum. Hasil yang diperoleh pada artikel ini adalah dimensi metrik dominasi untuk P(n,1), P(n,2) untuk n 10 dan P(n,3) untuk n
27. Untuk mencapai hasil ini, terlebih dulu ditentukan bilangan dominasi dan himpunan pembeda untuk P(n,1), P(n,2) untuk n
10 dan P(n,3) untuk n
27. Untuk Graf Petersen diperumum P(n,1), P(n,2) dengan n
10 diperoleh hasil bahwa dimensi metrik dominasi graf tersebut sama dengan bilangan dominasinya. Untuk P(n,3) dengan n
27 diperoleh hasil, yaitu terdapat dua kemungkinan dimensi metrik dominasinya tergantung dari ordonya, yang nilainya dapat dilihat dalam artikel secara langsung.
Hasil penelitian ini juga memberi peluang untuk dikembangkan lebih lanjut, yaitu menentukan dimensi metrik dominasi untuk Graf Petersen diperumum P(n,k) dengan k>3. Hasil lebih rinci dan detil berikut dengan pembuktiannya dapat dilihat pada artikel terkait, yang berjudul 淭he dominant metric dimension of generalized Petersen graph, seperti yang dituliskan di bawah ini.
Penulis: Dr. Liliek Susilowati, S.Si., M.Si.
Fakultas Sains dan Teknologi, 51动漫
Artikel lengkap dengan judul: 淭he dominant metric dimension of generalized Petersen graph
Dapat diakses melalui laman:
